страница - 117
U - оператор, действующий из функционального пространства Ф, которому принадлежит у, в пространство Р;
R - оператор метода вычислительной томографии, действующий из Fb Р.
Все множество алгоритмов реконструкции изображения можно разбить на две основные группы:
1)алгоритмы, основанные на использовании преобразования;
2)алгоритмы реконструкции, основанные на разложении функций в ряд.
Эти алгоритмы существенно отличаются друг от друга как последовательностью и сложностью вычислительных процессов при обработке исходных томографических данных, так и точностью реконструкции изображения.
Существуют две схемы сбора измерительных данных. Первая приведена на рис.
3.8.3, а. Характер многообразий 57, по
которым производится интегрирование при получении множеств проекцийв этой
схеме есть семейство прямых линий, инвариантных относительно группы вращения вокруг центра декартовой системы координат (х, v).
Число шагов различных положений источника проникающего излучения во время тактов сбора измерительных данных обозначено точками 50,S,...ySM. Полоса детекторов, регистрирующих проникающее излучение, состоит из 2 N + 1 расположенных по прямой детекторов.
Двумерная функция p(x,v), изображение которой необходимо реконструировать, является пространственно-ограниченной; значения ее вне окружности диаметра d принимаются равными нулю. Прямые, параллельные оси S и расположенные к оси у под углом 0, являются проецирующими лучами и описываются уравнением
/ = х cos 9 + vsinB,
где / - длина перпендикуляра, опущенного из начала координат (х, v) на отдельный луч.
На рис. 3.8.3, б показана геометрия веерного сбора проекционных данных. Более широко распространена первая схема.
В общем виде задача реконструкции функции p(x,v) по идеальным проекциям была решена Радоном, который показал, что
1
0-г
д. cos 6 +ysinQ-l
Ф(/,е)
Дискретные версии обратного преобразования Радона, которые позволяют реконструировать \х(х,у} по ее радоновскому образу
через известные значения х и у и вектор измерений Р, называют алгоритмами с преобразованием.
Алгоритмы реконструкции с преобразованием базируются на важном допущении, что функции p(x,v) и R\i относятся к классу
функций, которые однозначно определяются конечным числом отсчетов, лежащих внутри области
2 2 X + у £
.2,
т.е. имеют ограниченную протяженность спектра и обусловленную этим правомерность их разложения с использованием бесконечного
1
ряда при интервале дискретизации <>-,
2Кт
ж
где Кт - граничная частота.
Реконструкцию обычно осуществляют на квадратной решетке дискретных значений декартовых координат
х = mS, у = ntyAS,
по М угловым интегральным проекциям, лежащим в интервале от 0 до 180° для схемы измерения в параллельных лучах и от 0 до 360° для схемы с геометрией в веерных лучах, где
AS - интервал дискретизации квадратной решетки восстанавливаемой томограммы;
А0 = М
интервал дискретизации по
углу;
интервал дискретизации
dldQ.
dl
2ЛГ + 1 проекции;
тх> ту - целые числа.
Наиболее распространен алгоритм обратного проецирования с фильтрацией сверткой (АОПФС). Данный алгоритм основан на следующем соотношении:
я
/(*,>>) = Jj>e(xcos0 +.у sin0)dB, 0
где Pq(I) - фильтрованные проекции, связанные с полученными проекциями следующим соотношением:
Ре(0= fp(B,l)h(l-a)tb9
-оо
где импульсная характеристика фильтра h(t) представляет собой обратное преобразование Фурье от функции со в частотной области,
= Jwexp(2*/Ao)db =
Если Qm =
2А/
причем А/ равно рас-
стоянию между соседними отсчетами в диск-ретизованной проекции, то
1 sin(27c// 2А/) 1
h{l)
2ДГ 2ж1 / 2А/ ( sin(7c//2A/)4
4ДГ
тс/ / 2А/ у Поскольку данные измеряются с интер-2 . / \ 2 . / \ валом дискретизации А/ и соответственно = 2Qmsi nc(2Qm/j - Qmsinc(Qm/j, ограничиваются по полосе частот, для цифровой обработки нужно знать импульсную ха-где с1т - частота, выше которой спектральная рактеристику в пределах этой полосы и, сле-
энергия в любой проекции равна нулю.
довательно, с тем же интервалом дискретизации. Из (2)
h(nAS) =
1
4ДГ
О
1
2 2Л/2
п ж А/
л = 0 п -четное л-нечетное (п = 0,±1,±2,...).
(3)
Дискретный алгоритм реконструкции для параллельной схемы сбора проекционных данных описывается следующими выражениями:
\i*(mxas,myas) = ж М~1
хф(#ихД5,/иуД.У,лДе);(4)
n
p(Z9nAB) = p(mAl,nAQ)g(Z - mAl);
m=-n
(5)
n
£(/яД/,лДб)=Д/ p(gAl9nAQ)h{(m - g)Al);
(6)
z{mxAS\myAS,лде) = mxAS cos//A0 + +myAS$>m лАЭ, ФД/яДлДб) = 1.
Для схемы с веерными лучами не будем приводить выражения ввиду их громоздкости.
Выражение (4) есть процедура обратного проецирования; (6) есть дискретная свертка проекции р с ядром А, значения которого рассчитывают для случая ограничения пространственного спектра частотой Qm.
Таким образом, для получения дискретной оценки искомого изображения ц {х>у) по конечному множеству измерительных данных необходимо выполнить следующие этапы работы:
1)для каждого п в интервале 0<п<М-1 вычислить значения />(/яД/,яД0)
для -N<m< N, при этом получаем значения свернутой или фильтрованной проекции;
2)определить вклад в величину оценки
ц (х,у) каждой свернутой проекции при
фиксированном п и изменяющихся значениях тх, ту,
5) по интервальному процессу получить дискретную оценку искомого изображения.
Фурье-алгоритм (АФР) основан на так называемой теореме о проекциях, которая устанавливает фундаментальное соотношение между преобразованием Радона функции ц(х,>>), двумерными преобразованиями Фурье функции \х(х,у} и одномерным преобразованием Фурье проекции />(/,0) по первой
переменной. Если известны все проекции и их преобразования Фурье в диапазоне углов
О < 0 < п для геометрии измерений в параллельных лучах и охваченным оказывается все пространство спектров, то известным становится и двумерное преобразование Фурье томограммы м{кХуку , из которого можно
определить p(x,v).
Первым этапом ЛФР является вычисление дискретного Фурье-образа по переменной / от дискретной проекции р.
Далее оценка р {х>у) находится с помощью двумерного дискретного преобразования Фурье.
Использование одномерного и двумерного БПФ сокращает объем вычислений. Однако при этом точки, в которых необходимо определить значения Мкх,ку9 должны лежать
на эквидистантной прямоугольной решетке. В связи с этим в АФР, использующем БПФ, предусматривается дополнительная процедура перехода от полярной решетки к прямоугольной.
Алгоритм реконструкции методом фильтрации обратного проецирования (АФОП) основан на соотношении между двумерным Фурье-образом искомого изображения p(x,v) и ра-
доновским образом того же изображения, под-вергаутого процедуре обратного проецирования. Расчет оценки изображения р {х>у) по
проекции р для схемы с геометрией измерения в параллельных лучах распадается на следующие этапы:
1)обратное проецирование, как и в АОПФС;
2)вычисление двумерного дискретного преобразованияФурьефункции
3)получение новой функции Мкх,ку> что эквивалентно фильтрации
двумерной сверткой функции р/ях, ту j в
пространственной области;
4)нахождение оценки изображения
р {mxAS ymyAS с использованием обратного двумерного преобразования Фурье.
Использование алгоритма БПФ на последнем этапе, так же как и в АФР, позволяет существенно сократить объем вычислений при
получении оценки р {х>у)-
Алгоритмы реконструкции изображения, основанные на разложении функции в ряд, условно можно разбить на три группы:
1) алгебраические алгоритмы реконструкции;
2)алгоритмы реконструкции с квадратичной оптимизацией;
3)неитерационные алгоритмы реконструкции.
Алгебраические алгоритмы реконструкции (ААР) разделяют на аддитивные и мультипликативные. Для аддитивных ААР характерно то, что в процессе единственной итерации текущая оценка изображения Л обновляется путем добавления к ней скалярной величины, кратной транспонированной строке проекционной матрицы Д в то время как в
мультипликативных ААР обновление л происходит путем почленного умножения
вектора- столбца л v на величины, которые также кратны транспонированной строке проекционной матрицы R
Основой алгоритмов реконструкции изображения с квадратичной оптимизацией, как и алгебраических алгоритмов реконструкции, является итерационный процесс, с помощью которого ищут решение совместной системы уравнений, минимизирующее обобщенную квадратичную функцию расхождения.
Искомая оценка вектора изображения
x может также быть найдена по методу наименьших квадратов.
Сравнительный анализ алгоритмов реконструкции
Диагностические возможности, а также технико-экономические показатели систем промышленной томографии в немалой степени определяются выбранным алгоритмом реконструкции изображения внутренней пространственной структуры контролируемых объектов. Рассмотренное множество алгоритмов принципиально позволяет с любой наперед заданной точностью реконструировать искомое распределение p(x,v).
Однако для получения с помощью разных алгоритмов сравнимых по качеству изображений требуются различные временные затраты, определяемые не только мерой сложности вычислений, но и такими параметрами, как число перемещений данных и вспомогательных неарифметических операций, общая структурная сложность алгоритма, возможности средств вычислительной техники. Кроме того, комплекс измерительной аппаратуры и* средств обработки данных имеют собственные погрешности, которые в комплексе с погрешностями метода реконструкции определяют точность воспроизведения изображения.
Поскольку эффективность использования алгоритмов определяется многими факторами, ограничимся сравнительными оценками, в наибольшей степени характеризующими алго-
содержание:
[стр.Введение] [стр.1] [стр.2] [стр.3] [стр.4] [стр.5] [стр.6] [стр.7] [стр.8] [стр.9] [стр.10] [стр.11] [стр.12] [стр.13] [стр.14] [стр.15] [стр.16] [стр.17] [стр.18] [стр.19] [стр.20] [стр.21] [стр.22] [стр.23] [стр.24] [стр.25] [стр.26] [стр.27] [стр.28] [стр.29] [стр.30] [стр.31] [стр.32] [стр.33] [стр.34] [стр.35] [стр.36] [стр.37] [стр.38] [стр.39] [стр.40] [стр.41] [стр.42] [стр.43] [стр.44] [стр.45] [стр.46] [стр.47] [стр.48] [стр.49] [стр.50] [стр.51] [стр.52] [стр.53] [стр.54] [стр.55] [стр.56] [стр.57] [стр.58] [стр.59] [стр.60] [стр.61] [стр.62] [стр.63] [стр.64] [стр.65] [стр.66] [стр.67] [стр.68] [стр.69] [стр.70] [стр.71] [стр.72] [стр.73] [стр.74] [стр.75] [стр.76] [стр.77] [стр.78] [стр.79] [стр.80] [стр.81] [стр.82] [стр.83] [стр.84] [стр.85] [стр.86] [стр.87] [стр.88] [стр.89] [стр.90] [стр.91] [стр.92] [стр.93] [стр.94] [стр.95] [стр.96] [стр.97] [стр.98] [стр.99] [стр.100] [стр.101] [стр.102] [стр.103] [стр.104] [стр.105] [стр.106] [стр.107] [стр.108] [стр.109] [стр.110] [стр.111] [стр.112] [стр.113] [стр.114] [стр.115] [стр.116] [стр.117] [стр.118] [стр.119] [стр.120] [стр.121] [стр.122] [стр.123] [стр.124] [стр.125] [стр.126] [стр.127] [стр.128] [стр.129] [стр.130] [стр.131] [стр.132] [стр.133] [стр.134] [стр.135] [стр.136] [стр.137] [стр.138] [стр.139] [стр.140] [стр.141] [стр.142] [стр.143] [стр.144] [стр.145] [стр.146] [стр.147] [стр.148] [стр.149] [стр.150] [стр.151]