страница - 36
Продолжение табл. 1.12.3
к | Вероятность р | |||||||
0,20 | 0,10 | 0,05 | 0,02 | 0,01 | 0,005 | 0,002 | 0,001 | |
1 | 1,64 | 2,7 | 3,8 | 5,4 | 6,6 | 7,9 | 9,5 | 10,83 |
2 | 3,22 | 4,6 | 6,0 | 7,8 | 9,2 | 11,6 | 12,4 | 13,8 |
3 | 4,64 | 6,3 | 7,8 | 9,8 | 11,3 | 12,8 | 14,8 | 16,3 |
4 | 6,0 | 7,8 | 9,5 | 11,7 | 13,3 | 14,9 | 16,9 | 18,5 |
5 | 7,3 | 9,2 | 11,1 | 13,4 | 15,1 | 16,3 | 18,9 | 20,5 |
6 | 8,6 | 10,6 | 12,6 | 15,0 | 16,8 | 18,6 | 20,7 | 22,5 |
7 | 9,8 | 12,0 | 14,1 | 16,6 | 18,5 | 20,3 | 22,6 | 24,3 |
8 | 11,0 | 13,4 | 15,5 | 18,2 | 20,1 | 21,9 | 24,3 | 26,1 |
9 | 12,2 | 14,7 | 16,9 | 19,7 | 21,7 | 23,6 | 26,1 | 27,9 |
10 | 13,4 | 16,0 | 18,3 | 21,2 | 23,2 | 25,2 | 27,7 | 29,6 |
11 | 14,6 | 17,3 | 19,7 | 22,6 | 24,7 | 26,8 | 29,4 | 31,3 |
12 | 15,8 | 18,5 | 21,0 | 24,1 | 26,2 | 28,3 | 31 | 32,9 |
13 | 17,0 | 19,8 | 22,4 | 25,5 | 27,7 | 29,8 | 32,5 | 34,5 |
14 | 18,2 | 21,1 | 23,7 | 26,9 | 29,1 | 31 | 34 | 36,1 |
15 | 19,3 | 22,3 | 25,0 | 28,3 | 30,6 | 32,5 | 35,5 | 37,7 |
16 | 20,5 | 23,5 | 26,3 | 29,6 | 32,0 | 34 | 37 | 39,2 |
17 | 21,6 | 24,8 | 27,6 | 31,0 | 33,4 | 35,5 | 38,5 | 40,8 |
18 | 22,8 | 26,0 | 28,9 | 32,3 | 34,8 | 37 | 40 | 42,3 |
19 | 23,9 | 27,2 | 30,1 | 33,7 | 36,2 | 38,5 | 41,5 | 43,8 |
20 | 25,0 | 28,4 | 31,4 | 35,0 | 37,6 | 40 | 43 | 45,3 |
21 | 26,2 | 29,6 | 32,7 | 36,3 | 38,9 | 41,5 | 44,5 | 46,8 |
22 | 27,3 | 30,8 | 33,9 | 37,7 | 40,3 | 42,5 | 46 | 48,3 |
23 | 28,4 | 32,0 | 35,2 | 39,0 | 41,6 | 44,0 | 47,5 | 49,7 |
24 | 29,6 | 33,2 | 36,4 | 40,3 | 43,0 | 45,5 | 48,5 | 51,2 |
25 | 30,7 | 34,4 | 37,7 | 41,6 | 44,3 | 47 | 50 | 52,6 |
26 | 31,8 | 35,6 | 38,9 | 42,9 | 45,6 | 48 | 51,5 | 54,1 |
27 | 32,9 | 36,7 | 40,1 | 44,1 | 47,0 | 49,5 | 53 | 55,5 |
28 | 34,0 | 37,9 | 41,3 | 45,4 | 48,3 | 51 | 54,5 | 56,9 |
29 | 35,1 | 39,1 | 42,6 | 46,7 | 49,6 | 52,5 | 56 | 58,3 |
30 | 36,3 | 40,3 | 43,8 | 48,0 | 50,9 | 54 | 57,5 | 59,7 |
Несмещенная оценка величины дисперсии
s2=—t*i(*i-s)2-
п-\
/=1
Доверительный интервал для х , отвечающий доверительной вероятности (1 - а), при неизвестном а
х - /
q,n-l
y/n-l
X +t.
q,n-l
yjn - 1
и при известном О (или при достаточно большом п)
а
x-tq — ; x+tq
где tq - квантиль распределения, определяется по табл. 1.12.1 (tq=z для Фо(г)=(1 - а/2, а=#/100); tqn.\- квантиль распределения, определяется по табл. 1.12.2, где к = п - 1.
Пример. Определить доверительный интервал математического ожидания для п = 9 при доверительной вероятности 1 - а = = 1 - 0,05 = 0,95, если известно, что а = 2.
По табл. 1.12.1 определяем, что для вероятности (1 - а) / 2 = Фо (z) = 0,95/2 tq = z =1,96. Тогда с вероятностью 0,95 доверительный интервал (х - 1,31, х + 1,31) покрывает математическое ожидание.
Пример. Определить доверительный интервал математического ожидания при доверительной вероятности 1 - а = 0,95, если произведено п = 10 наблюдений и получены следующие значения измеряемой величины х: Х\ = +2, х2 = +1, х3 = -2, х4 = +3, х5 = +2, *6 = +4, х7 = -2, х8 = +5, Хо = +3, Хю = +4.
В соответствии с (1.12.1) и (1.12.2) получим х = +2 и 5 = 2,3. Из табл. 1.12.2 находим, что tqn.\ = /59 = 2,262 (q = 100 а = = 1000,05 = 5).Тогда с вероятностью 0,95 доверительный интервал (0,2658; 3,7342) покрывает математическое ожидание.
Доверительный интервал а в предположении, что величина п& / а2 распределена по закону х2 с (п - 1) степенью свободы,
>
где XI и %2 соответствуют двум предельным границам доверительного интервала, отвечающего доверительной вероятности 1 - а (определяются по табл. 1.12.3).
Пример. Определить доверительный интервал а при доверительной вероятности 0,96, если по результатам 10 измерений получено, что S = 2,3.
Определяют два предела вероятности р\ и Р2 (соответствующие xi и Х2)> покрывающие а с вероятностью 0,96:
р2 = 0,5а = 0,5(1 - 0,96) = 0,02; рх = 1 - 0,5а = 0,98.
Из табл. 1.12.3 находим, что р\ =0,98 и р2 = 0,02 при числе степеней свободы к = = п - 1 = 9 соответствуют у} = 2,53 и X2 = 19,7. Доверительный интервал (1,64 < а < 4,57).
Следует иметь в виду, что грубые ошибки при проведении измерений должны исключаться из данных, используемых при вычислении оценок статистических параметров. Если на основании анализа процесса измерения не удается исключить причины или увидеть и отбросить грубые ошибки, то используют один из критериев их определения.
Предположим, что подозрительным является значение хтах из результатов наблюдений, а распределение следует нормальному закону. Принимается уровень значимости, определяющий вероятность а перехода действительным отклонением некоторой границы. Значение хтах считают грубой ошибкой, если
*max > х + *а,п1
где tan определяется по табл. 1.12.4; х и S
определяются по выборке объема п.
Значение хп считают грубой ошибкой,
если
-*min > х ~ *а,п>
Если параметры генеральной совокупности (математическое ожидание и а) известны или п достаточно большое, то вместо /а,л подставляют квантиль нормального распределения, отвечающую вероятности р = (1 - а)Уп. Ее значение можно найти по табл. 1.12.1, обозначив tan = Z-
1.12.4. Квантили /а,л
0,10 | 0,05 | 0,025 | 0,01 | |
3 | 1,406 | 1,412 | 1,414 | 1,414 |
4 | 1,645 | 1,689 | 1,710 | 1,723 |
5 | 1,791 | 1,869 | 1,917 | 1,955 |
6 | 1,894 | 1,996 | 2,067 | 2,130 |
7 | 1,974 | 2,093 | 2,182 | 2,265 |
8 | 2,041 | 2,172 | 2,273 | 2,374 |
9 | 2,097 | 2,237 | 2,349 | 2,464 |
10 | 2,146 | 2,294 | 2,414 | 2,540 |
11 | 2,190 | 2,343 | 2,470 | 2,606 |
12 | 2,229 | 2,387 | 2,519 | 2,663 |
13 | 2,264 | 2,426 | 2,562 | 2,714 |
14 | 2,297 | 2,461 | 2,602 | 2,759 |
15 | 2,326 | 2,493 | 2,638 | 2,800 |
16 | 2,354 | 2,523 | 2,670 | 2,837 |
17 | 2,380 | 2,551 | 2,701 | 2,871 |
18 | 2,404 | 2,577 | 2,728 | 2,903 |
19 | 2,426 | 2,600 | 2,754 | 2,932 |
20 | 2,447 | 2,623 | 2,778 | 2,959 |
21 | 2,467 | 2,644 | 2,801 | 2,984 |
22 | 2,486 | 2,66Ф | 2,823 | 3,008 |
23 | 2,504 | 2,683 | 2,843 | 3,030 |
24 | 2,520 | 2,701 | 2,862 | 3,051 |
25 | 2,537 | 2,717 | 2,880 | 3,071 |
1.12.2. ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ О ЗАКОНЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Критерий согласия Пирсона
nPi
где pt - выравнивающие частоты, п - число измерений в выборке, /И/ - число измерений в /-Й группе.
Все наблюдения Х\, ... , хп разбиваются на г групп, в каждую из которых попадает какое-то число близких между собой значений X/. Интервал А = X/ - дс/+у значений х для одной группы (разряда) может определяться погрешностью измерения или другцми соображениями.
Применение критерия у} требует выделения области значений критериев, вероятность попадания в которую принимается существенной. В табл. 1.12.3. приведены значения х2 Для выбранной вероятности, если вероятность р(у}) события Xq > х2, где Хо " вы~ численное для данной выборки значение.
Пример. Вычисленное значение у} =0,75,
число степеней свободы к — 6. Тогда из
табл. 1.12.3 получим р(у}) > 0,99, что соответ-2
ствует Xq = °>87 > °>75. Если это значение
вероятности признается существенным, то гипотеза о законе распределения верна.
Число степеней свободы к определяется как разность между числом г групп (разрядов), на которые разделены все измеренные значения в выборке, и числом независимых условий наложенных на статистические частоты
pi = mi I л, то есть
к = г - t.
При гипотезе о нормальном распределении / = 3, если помимо условия о фиксированном объеме выборки /i, наложено требование, чтобы значения среднего и среднеквадра-тического отклонения выборки равнялись соответствующим параметрам генеральной совокупности.
При гипотезе о биноминальном распределении и распределении Пуассона к = г - 2.
Критерий согласия х2 рекомендуется применять только в том случае, если ни одна из групповых частот не будет очень мала. Для увеличения частоты крайних групп их объединяют между собой так, чтобы частота объединенной группы была не меньше 5, а число групп равно 8 ... 12.
Критерий согласия у} иногда применяют по следующему правилу:
х2-*1
yfiic
> з,
то расхождение можно считать, существенным,
х2-*1
если
< 3,
то случайным.
Оценка гипотезы с помощью критерия X2 существенно зависит от того, как разделены по группам результаты измерении. Кроме того, для оценки соответствия наблюдаемого распределения предполагаемому используется предельный закон распределения, что при конечных объемах выборки выполняется лишь приближенно.
Критерий согласия Колмогорова
Dn=rmx\Fn(x)-F(x)\,
где Fn(x) - значение эмпирической функции распределения; F(x) - значения выравнивающей непрерывной интегральной функции распределения (определяется по таблице соответствующего распределения, в частности при определении F(x) для нормального закона можно использовать табл. 1.12.1). Определив Dn, вычисляют
содержание:
[стр.Введение] [стр.1] [стр.2] [стр.3] [стр.4] [стр.5] [стр.6] [стр.7] [стр.8] [стр.9] [стр.10] [стр.11] [стр.12] [стр.13] [стр.14] [стр.15] [стр.16] [стр.17] [стр.18] [стр.19] [стр.20] [стр.21] [стр.22] [стр.23] [стр.24] [стр.25] [стр.26] [стр.27] [стр.28] [стр.29] [стр.30] [стр.31] [стр.32] [стр.33] [стр.34] [стр.35] [стр.36] [стр.37] [стр.38] [стр.39] [стр.40] [стр.41] [стр.42] [стр.43] [стр.44] [стр.45] [стр.46] [стр.47] [стр.48] [стр.49] [стр.50] [стр.51] [стр.52] [стр.53] [стр.54] [стр.55] [стр.56] [стр.57] [стр.58] [стр.59] [стр.60] [стр.61] [стр.62] [стр.63] [стр.64] [стр.65] [стр.66] [стр.67] [стр.68] [стр.69] [стр.70] [стр.71] [стр.72] [стр.73] [стр.74] [стр.75] [стр.76] [стр.77] [стр.78] [стр.79] [стр.80] [стр.81] [стр.82] [стр.83] [стр.84] [стр.85] [стр.86] [стр.87] [стр.88] [стр.89] [стр.90] [стр.91] [стр.92] [стр.93] [стр.94] [стр.95] [стр.96] [стр.97] [стр.98] [стр.99] [стр.100] [стр.101] [стр.102] [стр.103] [стр.104] [стр.105] [стр.106] [стр.107] [стр.108] [стр.109] [стр.110] [стр.111] [стр.112] [стр.113] [стр.114] [стр.115] [стр.116] [стр.117] [стр.118] [стр.119] [стр.120] [стр.121] [стр.122] [стр.123] [стр.124] [стр.125] [стр.126] [стр.127] [стр.128] [стр.129] [стр.130] [стр.131] [стр.132] [стр.133] [стр.134] [стр.135] [стр.136] [стр.137] [стр.138] [стр.139] [стр.140] [стр.141] [стр.142] [стр.143] [стр.144] [стр.145] [стр.146] [стр.147] [стр.148] [стр.149] [стр.150] [стр.151]