страница - 38
ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ПРИ ИЗМЕРЕНИИ ПРОЦЕССОВ
123
средние значения коэффициентов tfrj> ак и &к> используя метод наименьших квадратов.
Если измеряемая зависимость может быть представлена функцией fix), имеющей производные до (п + 1)-го порядка, то для описания такой зависимости по результатам измерения можно использовать ряд Тейлора
/(х)=/(я) + (х-я) + 1!
/ ч2/>) , Лп/П)(а) + (х-д) -+...+(х-я) --—,
2!
где а - произвольная точка внутри интервала существования производных.
Измеряя при различных x/ значения fixj),составляют систему уравнений, из которой определяют неизвестные f-\a).
Метод наименьших: квадратов используют, если вид зависимости известен с точностью до постоянных. К таким задачам относятся, в частности, задачи сглаживания экспериментальных кривых. Его используют для выбора одной из заданных (с точностью до постоянных) зависимости наилучшим образом описывающей измеряемую. При этом оценка качества приближения определяется минимальной суммой квадратов отклонений результатов наблюдений от значений предполагаемой зависимости.
Методом наименьших квадратов вычисляются коэффициенты корреляционных уравнений.
Один из общих случаев представления измеряемой зависимости (функции) - представление ее полиномом т-й степени (во всех случаях ниже предполагается, что все у имеют равные веса):
у = Aq + Ахх + А2х2 +...+Атхт.
Задача заключается в определении таких значений коэффициентов Aq, А\, А2, ... , Ат, для которых:
F(AQ,Av...iAm) = min5;2,
/ = 1,2,..., > т +1,
где 5,- = А0 + Axxt + А2х] +.. .+Атх? - у{, yi - измеренное значение у при х = x/ или
(ХЬ Уд ~ паРа измеренных значений хм у.
Принимая в качестве условия минимума dF/dA = 0, коэффициенты А определяются из системы уравнений:
£(Л +А1х1 +Л2х(2+...+Лю*Г -j>) = 0;
Х(4>+4*1 + +• • +Amxi> - >i )*t = °;
(Л +А1+..лАя -у,}? = 0.
Типовые случаи восстанавливаемых зависимостей (или виды искомых корреляционных уравнений):
1) у = ах.
Вычисляется а по формуле
а =
x, + х0+...+х„
где п - число измеренных пар хи у. 2) у = ах + Ь.
Для определения а и Ь необходимо решить систему уравнений
2
пп
/=1
/=1
/=1
3) .у = ах.
Постоянные а и b определяются из соотношений:
\ga =—, b = В
В D
где
D
/=1
2>, 2>*/):
/=1
/=i
/=1/=1
п
i=\
i=l
В =
гг
2>,
/=1
л
/=i
/=1
4) у = я К
Коэффициенты а и b определяются из соотношений:
\ga = —, \gb = —,
где
/=i
/=1 /=1
/=i /=1
ПЛ
/=1
/=1
5 -
5>,
Л
/=1 /=1 5) у = а -т- blgx.
Коэффициенты а и b определяются из системы уравнений:
лл
/=1 " /=1
лл л
1.12.5. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ ПРИ ВОССТАНОВЛЕНИИ ДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
При восстановлении динамических моделей задачи можно разделить на4 два типа в зависимости от того, что известно о виде динамической модели: вид динамической модели известен в форме дифференциального уравне-
ния с точностью до коэффициентов при производных; вид дифференциального уравнения не известен.
Решение задач первого типа сводится к рассмотренным в 1.12.4. В то же время достаточно часто встречаются ситуации, когда до опыта трудно предположить вид динамической модели. В частности, задачи определения динамической модели возмущенного движения (или возмущенной составляющей движения) в теории точности. Например, в случае механической обработки, при определении динамической модели возмущенного относительного движения инструмента и заготовки, в результате которого появляются отклонения формы обрабатываемой поверхности. В общем виде задача восстановления по результатам измерения динамической модели в форме дифференциального уравнения не имеет единственного решения. Поэтому применение предлагаемого ниже метода ограничено следующими двумя гипотезами:
1.Динамическая модель системы может быть представлена однородным обыкновенным дифференциальным уравнением /1-го порядка:
P0(y)d"z /dy"+Px OV"1* / <fyn~l +...+
+P„-l (y)dz/dy + Pn (y)z = 0(1.12.4)
(или системой n уравнений первого порядка) и точность представления определяется только порядком п дифференциального уравнения.
2.Погрешность измерения траектории пренебрежима мало меняет представление о поведении системы, динамическая модель которой восстанавливается. То есть предполагается, что при измерении траектории движения, определяемой динамическими свойствами системы, удается обеспечить пренебрежимо малую погрешность измерения.
Тогда процедура восстановления динамической модели в форме уравнения (1.12.4) будет состоять в следующем:
1.Результаты измерений представляются в виде суммы п линейно независимых функций вида Zj = С;.ф. Для этого можно использовать изложенные выше методы обработки результатов наблюдений и, в частности, разложение в тригонометрический полином.
2.Составляется следующее уравнение:
(у)-. Z2 (у)....... z„(y) ziy)
dzx/dy ..dz2/dy ... dzn/dy dz/dy
=0.
d"zx/dyn dn2z/dy\..dnnz/dyn dnz/dy
(1.12.5)
Раскрывая определитель по элементам правого столбца, приходим к уравнению (1.12.4).
Пример. Найти модель динамической системы, определяющей возмущенное относительное движение инструмента и заготовки при проточке канавки на валу, если в результате измерений радиуса обрабатываемой поверхности с интервалом в 7,5 с (начиная с некоторого /о по tn) получили следующие значения глубины проточки в мм: 1,6685; 3,5940; 5,4320; 7,9800; 8,3427; 9,0000; 11,6797; 14,1960; 16,2958; 17,7450; 18,3538; 18,0000. А номинальное движение (подача) должно идти по линейной зависимости.
Используя метод наименьших квадратов при обработке результатов наблюдений, получим линейную составляющую изменения радиуса:
Z =0,1
где для удобства сопоставления с (1.12.4) и (1.12.5) время / обозначено через у.
Очевидно, что возмущенное движение будет отражено отклонениями от полученной зависимости. Тогда проведем гармонический анализ отклонений от вычисленной прямой и получим следующее выражение:
Z{y) = 1 + cos2>> +sin2>>.
Если предположить, что результаты измерений получены за последний оборот заготовки (tn - tQ - время последнего оборота), то два последних члена показывают вид (овальность) и величину отклонения формы обработанной поверхности. Найдем динамическую модель в форме дифференциального уравнения по изложенной выше методике. Для этого примем
z\ =1у Z2 = cos2у, z3 = sin 2.
Составим в соответствии с (1.12.5) уравнение
1 cos 2у sin 2уz(y)
0 -2 sin 2у 2 cos 2у dz / dy
22
4 -4cos2j> -4sin 2y d z I dy
0 8sin2j>
-8 cos 2y d3z/dy3
= 0.
Раскрывая определитель, получим дифференциальное уравнение
d3z(y)/dy3 +4dz(y)/dy=0.
Естественно, что детальный анализ и выводы из полученного решения должен делать специалист по исследуемым процессам. Но всегда важно обратить внимание на соотношение коэффициентов при производных и на порядок дифференциального уравнения, кото-
рый совпадает с числом п линейно независимых функций £/, если при раскрытии определителя в уравнении (1.12.5) коэффициент при высшей производной не обращается в 0 на рассматриваемом интервале у.
1.12.6. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
Эти задачи связаны с определением зависимостей между значениями результатов измерений при получении статистических характеристик случайных процессов. Полученные характеристики случайных процессов включают и погрешность измерения из-за сложности ее выделения в измеренной случайной величине. А так как обрабатываются дискретные значения результатов измерения, полученные в различные моменты времени (для различных значений аргументов), то характеристики будут зависеть от шага дискретности при измерении.
Для вычисления эмпирической ковариа-ции случайного процесса x(t) используют формулу
п
cov (/, /") = 1 /(/) - х(П] X
х[*,(/")-*(>")], где п - число реализаций; / и /" - выбранные значения параметра г;и- значе-
ния процесса в точке / и / по i-й реализации.
Давая различные значения / и получают ряд значений cov(/ , / ), и аппроксимируют эти значения какой-либо поверхностью в координатной системеt", cov(/,/"). Аппроксимирующую поверхность и принимают за статистическую оценку корреляционной функции.
Аналогично определяется эмпирическое значение взаимной корреляционной функции двух случайных процессов X(t) и Y(t). При этом используется формула: п
cov(/,/") = (1 / п)[х,(/) - x(f)] X
*[у,(П-у(П\,
где у - измеренные значения Y(t); х - измеренные значения X(t).
Определение статистических оценок стационарного случайного процесса можно производить путем усреднения данных по неслучайному параметру /, в том числе и по одной реализации процесса, если она охватывает достаточно большой интервал /.
содержание:
[стр.Введение] [стр.1] [стр.2] [стр.3] [стр.4] [стр.5] [стр.6] [стр.7] [стр.8] [стр.9] [стр.10] [стр.11] [стр.12] [стр.13] [стр.14] [стр.15] [стр.16] [стр.17] [стр.18] [стр.19] [стр.20] [стр.21] [стр.22] [стр.23] [стр.24] [стр.25] [стр.26] [стр.27] [стр.28] [стр.29] [стр.30] [стр.31] [стр.32] [стр.33] [стр.34] [стр.35] [стр.36] [стр.37] [стр.38] [стр.39] [стр.40] [стр.41] [стр.42] [стр.43] [стр.44] [стр.45] [стр.46] [стр.47] [стр.48] [стр.49] [стр.50] [стр.51] [стр.52] [стр.53] [стр.54] [стр.55] [стр.56] [стр.57] [стр.58] [стр.59] [стр.60] [стр.61] [стр.62] [стр.63] [стр.64] [стр.65] [стр.66] [стр.67] [стр.68] [стр.69] [стр.70] [стр.71] [стр.72] [стр.73] [стр.74] [стр.75] [стр.76] [стр.77] [стр.78] [стр.79] [стр.80] [стр.81] [стр.82] [стр.83] [стр.84] [стр.85] [стр.86] [стр.87] [стр.88] [стр.89] [стр.90] [стр.91] [стр.92] [стр.93] [стр.94] [стр.95] [стр.96] [стр.97] [стр.98] [стр.99] [стр.100] [стр.101] [стр.102] [стр.103] [стр.104] [стр.105] [стр.106] [стр.107] [стр.108] [стр.109] [стр.110] [стр.111] [стр.112] [стр.113] [стр.114] [стр.115] [стр.116] [стр.117] [стр.118] [стр.119] [стр.120] [стр.121] [стр.122] [стр.123] [стр.124] [стр.125] [стр.126] [стр.127] [стр.128] [стр.129] [стр.130] [стр.131] [стр.132] [стр.133] [стр.134] [стр.135] [стр.136] [стр.137] [стр.138] [стр.139] [стр.140] [стр.141] [стр.142] [стр.143] [стр.144] [стр.145] [стр.146] [стр.147] [стр.148] [стр.149] [стр.150] [стр.151]